ENONCE N° 2:
Vous vous inspirerez du
calcul de l'exercice 1, pour évaluer l'effet de J2 sur les dérives de l'inclinaison orbitale i, de l'argument nodal w du périgée et surtout sur la dérive de la longitude vernale W de la ligne des nœuds de l'orbite.Les
équations de Gauss montrent l'effet de Np sur ces trois paramètres Pour ne pas alourdir les calculs, vous prendrez une orbite circulaire de rayon a, d'inclinaison i non nulle.1°) Calculer Np
2°) Montrer que l'effet moyenné sur une période est nul sur l'inclinaison pour i
3°) Vérifier de la même façon que l'effet moyenné de la dérivée de W vaut:
4°) On admettra que de manière similaire la vitesse moyenne de dérive de
w vaut :
Quelle valeur annule cette dérivée?. Penser aux satellites russes pour application.
Application numérique avec J2 = 1.08 10-3: : Satellite héliosynchrone SPOT IMAGE sur une orbite circulaire vers 822 km du sol terrestre, inclinée i = 98°.72, calculer d
W/dt. Comparer à la vitesse angulaire moyenne du méridien contenant le soleil, vu de la terre, dans son mouvement rapporté au géocentrique équatorial. Conclusions.
1°) CALCUL DE Np
:Comme Np est la composante de la perturbation sur la normale au plan orbital, c'est uniquement la partie non centrale de cette perturbation, qui se projette sur la normale, qui n'est autre que W, unitaire du moment cinétique.
Le calcul de Np est alors aisé et donne :
2°) CALCUL DE L'EFFET SUR i
L'équation de Gauss relative à l'inclinaison i donne
d'où, la dérivée de i qui vaut, dans le cas particulier d'une orbite circulaire (e = 0
w = 0 par exemple)
de valeur moyenne nulle sur l'orbite, on pouvait physiquement s'en douter.
3°) CALCUL DE L'EFFET MOYEN SUR
W :La dérivée de
W qui vaut, dans le cas particulier d'une orbite circulaire (e = 0) pour laquelle on peut aussi supposer w = 0
4°) CALCUL DE L'EFFET MOYEN SUR
w :Il apparaît qu'une inclinaison i = 63°.4, couramment utilisée par les russes, annule cette dérive du grand axe dans son plan. De plus, nous l'avons déjà vu, elle permet le survol de la l'ancienne Union Soviétique.
CAS DE SPOT :
Avec les données fournies, le calcul de la dérivée de
W donne une dérive de 0.9859 °/jour, soit pour un tour complet, une durée de plus de 365 jours. C'est exactement l'année tropique, c'est à dire le temps d'une révolution de la terre autour du soleil. SPOT respecte ce que l'on appelle l'héliosynchronisme, notion délicate à laquelle il faut consacrer un cours particulier, car capitale pour les satellites d'imagerie spatiale.